sábado, 1 de octubre de 2011

La resistencia geométrica de las telas de araña





La geometría y composición de la estructura molecular de las telarañas parece guardar la clave a la increíble resistencia que manifiestan sus tejidos. Y por primera vez la ciencia parece haber penetrado el misterio de la sorprendentes características mecánicas de este fascinante material de la naturaleza. La seda producida por las arañas no solo es sorprendentemente resistente sino que también denota una marcada flexibilidad. ¡Las fibras de seda demuestran increíbles propiedades mecánicas. Tienen una significativa fortaleza comparable al acero, son más resistentes que el Kevlar y su densidad es menor al algodón o el nylon” explica el Dr. Frauke Gräter del Heidelberg Institute for Theoretical Studies, en Alemania, y autor de este nuevo estudio. “El hecho de que la seda que forma las telarañas supera a sus contrapartes artificiales en Resistencia, múltiples estudios han tratado de entender las características mecánicas de estas extraordinarias fibras naturales” agrega.

Los científicos descubrieron que las sub-unidades suaves y amorfas son las responsables de la elasticidad y ayudan a distribuir el peso a lo largo de la estructura, en una ecuación integral de distribución. En cuanto a la resistencia del tejido de los arácnidos, esta depende de la cantidad de sub-unidades cristalinas. “Determinamos una serie de acomodos de las subunidades tanto amorfas como cristalinas en discos y jugamos con arreglos paralelos y otros azarosos” declaró el Dr Gräter.

Los científicos descubrieron que las sub-unidades suaves y amorfas son las responsables de la elasticidad y ayudan a distribuir el peso a lo largo de la estructura, en una ecuación integral de distribución. En cuanto a la resistencia del tejido de los arácnidos, esta depende de la cantidad de sub-unidades cristalinas. “Determinamos una serie de acomodos de las subunidades tanto amorfas como cristalinas en discos y jugamos con arreglos paralelos y otros azarosos” declaró el Dr Gräter


Copo de nieve o fractal de Koch





La curva o fractal de Koch es llamada "copo de nieve" porque es una estilización de la forma de estos objetos. Es una de las primeras figuras fractales, que definió en 1906 el matemático sueco Helge von Koch, antes de la formalización de este concepto y del nombre que las ha acabado popularizando.


¿Cómo se forma?

Partiendo de un triángulo equilátero, dividimos cada lado en tres partes iguales. A continuación, eliminamos la parte central de cada lado y dibujamos hacia fuera un triángulo equilátero de lado igual al segmento que hemos eliminado. Continuamos el proceso en cada uno de los triángulos equiláteros cada vez más pequeños que van apareciendo. El proceso es cada vez más difícil de realizar con lápiz y papel, pero un ordenador lo puede dibujar con facilidad.



Así obtenemos una hermosa estilización de un copo de nieve, de que imágenes tomadas con microscopio muestran que tiene una estructura hexagonal. Después de un número infinito de iteraciones tenemos una curva de longitud infinita que rodea una superficie finita.


LOS FRACTALES


El matemático francés Benoît Mandelbrot desarrolló, en 1975, el concepto de fractal, que proviene del vocablo latino fractus(“quebrado”).Un fractal es una figura plana o espacial que está compuesta por infinitos elementos, con una estructura cuya característica común es que su entidad esta construida por la repetición o iteración de un proceso dado, haciendo esto que, independientemente de cómo la observemos o de que parte del conjunto tomemos, exista una autosemejanza, una similitud entre sus aspectos.


fractal_hands.jpg


A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

§ Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.

§ Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).

§ Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.

§ Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

Muchas estructuras naturales son de tipo fractal como ríos,nubes,árboles y plantas.Un ejemplo de ello es el de la siguiente imagen , en la que se observa en la coliflor el fenómeno del fractal.













Kiva


Quería presentaros una iniciativa muy interesante KIVA, http://www.kiva.org/, una organización para que los habitantes de los países ricos puedan prestar dinero a los habitantes de los países pobres.

El funcionamiento, es que tu eliges a quien y para que le quieres prestar, y la cantidad mínima es de 25 $. Es interesante echarle un vistazo, sobre todo cuando ves que han prestado 247 Millones de dolares. 



Y cuando observas que su ratio de devolución de los prestamos, es mejor que el que tienen la mayoría de nuestros bancos

viernes, 30 de septiembre de 2011

Las Matematicas en la Naturaleza

Las matemáticas además de su papel formativo y de transmisión de ideas tiene también una presencia muy importante en la naturaleza y en casi todo el ámbito de la vida humana. 
En al caso del numero áureo que se encuentra en muchas esculturas, construcciones de catedrales, en las plantas, en los animales.

El nautilo es un antiguo y sagaz matemático cuyos antepasados fueron casi los dueños de los primitivos océanos (hace 450 millones de años). Es un geómetra de primera línea. Es un cefalópodo, como el pulpo o la sepia, que habita en una concha en forma de espiral formada por varias cámaras unidas por tabiques (puede llegar a medir 18 cm de diámetro y su concha está forrada de nácar). A medida que el nautilo crece, como lo hace la curva de Descartes desde su origen, pasa de una cámara a otra. Lo hace isométricamente, o sea que sus cámaras aumentan de tamaño pero su forma es invariable Por homotecia las cámaras se generan una tras otra con una relación de proporcionalidad poco común en la naturaleza. Puede habitar a 600 metros bajo las aguas y resistir grandes presiones hidrostáticas, debido a que las paredes aumentan de grosor de forma proporcional al radio de la concha. Para completar una vuelta completa necesita 18 cámaras...



La espiral equiangular descrita por Descartes no puede dibujarse solo con regla y compás (como se verá, es una curvalogarítmica). Sin embargo, disponemos de algunas buenas aproximaciones. Una de ellas es la llamada espiral de Durero, que el pintor y grabador construyó de la siguiente manera: dado un rectángulo áureose divide este en un cuadrado y un rectángulo más pequeño (mediante una línea roja en la imagen). Es fácil ver que el nuevo rectángulo también es áureo, por lo que se puede repetir con él el proceso (línea verde) y continuar indefinidamente. Pues bien: los vértices obtenidos son puntos de una espiral como la descrita por Descartes. Para tener una aproximación a ella basta entonces unir dichos vértices mediante cuartos de circunferencia.

Un proceso parecido se puede realizar al revés: partiendo de dos cuadrados de longitud uno se van construyendo cuadrados de lado igual a la suma de los dos anteriores. Uniendo los vértices mediante arcos circulares tendremos de nuevo una aproximación a la espiral equiangular, y esta vez con el añadido de que los radios de los sucesivos arcos forman una sucesión de Fibonacci. Se le llama, cómo no, espiral de Fibonacci.



Resulta que la espiral nautílica se puede aproximar también tomando como base un triángulo isósceles con ángulos de 36º, 72º y 72º y construyendo sucesivos triángulos bisecando uno de los ángulos iguales (en la figura se empezaría con C para obtener D, luego se bisecaría B para obtener E y así sucesivamente). Los triángulos que se van obteniendo son todos semejantes, y cumplen que la razón entre los lados mayor y menor de cada uno de ellos es exactamente igual a la proporción áurea. Por ello se les llama triángulos áureos.

Clase del 30 de Septiembre del 2011


Ejercicios Hoja 1


1º Ejercicios a realizar:


Resumen de 1ª Semana de clase


Ya hemos pasado nuestra primera semana de clase de las 15 que pasaremos juntos. Eso significa que ya llevamos el 7% de la asignatura.

En esta semana hemos puesto en funcionamiento este Blog, entre todos hemos hecho 35 entradas (POST), y hemos tenido 1389 visitas.

La 1ª Tarea era contestar una encuesta utilizando la cuenta GOUMH, lo han conseguido 38 alumnos. A todos ellos se les ha enviado una invitación para participar en el BLOG. Quedan 25 alumnos pendientes de aceptar la invitación de participar en el Blog

La 2ª Tarea era hacer un post sobre matemáticas en este blog, y enviar la dirección de ese post en el formulario de la tarea 2. Solamente 16 alumnos han entregado la dirección del post, a través del formulario, pero muchos de ellos no la han enviado correctamente. Esperamos que con lo que hoy hemos explicado en clase, la mayoría sepa enviar la dirección del post.

La 3º Tarea (entrega apuntes) Ya tenemos un alumno que ha tomado los apuntes, aunque todavía no se ha colgado.  Tengo que hacer un formulario para entregar esta tarea.

La 4º Tarea (entrega de ejercicio) Tiene dos partes, habrá que entregar en papel el Martes 4 de Octubre. Plazo máximo de entrega 4 de Octubre a las 9:00 para el PAPEL, también se deberá de rellenar un formulario que me queda preparar.

Sobre Matemáticas, hemos empezado por Álgebra lineal, conociendo lo que es el método de Gauss.

Esta semana hemos conseguido una nueva forma de comunicarnos, a través de un blog. Vamos a ver si seguimos dinamizando el mismo, y acostumbramos a los alumnos a preguntar a través del mismo.

Al final de la clase me solicitaban unas alumnas, la posibilidad de descargar mis presentaciones de la clase, eso es muy difícil mediante el blog. Seguramente deberemos de utilizar un blog para dejar estas presentaciones en formato Power Point.

jueves, 29 de septiembre de 2011

El número Phi. Las proporciones divinas. El número de Dios. El número Aureo.

Los números y la naturaleza son dos cosas que van unidas  En el corazón de ese misterio se encuentra el numero que pareciese, es el mas perfecto de todos y es 



Este numero es llamado Phi.Éste numero tenía una relación directa con la construcción del pentágrama, al cual le atribuyó poderes mágicos. Pero, ¿cual es la importancia real de este numero?
Este número ha sido utilizado en la construcción de monumentos (como las pirámides) e infinidad de artistas han plasmado la proporción áurea en sus pinturas, entre ellos Salvador Dalí y Leonardo da Vinci.

Algunas curiosidades de la proporción perfecta:
Número áureo:

-La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
-La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol.
-La disposición de los pétalos de las flores.
-La distribución de las hojas en un tallo.
-La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles.
 -La Anatomía de los humanos se basa en una relación Phi exacta, así vemos que:
* La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
 * La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
 * La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.

El número aureo y la sucesión de Fibonacci en la naturaleza

"Investigando" he encontrado un vídeo bastante bueno e interesante que me gustaría que lo vierais, ya que es una relación total de las matemáticas con la naturaleza, cosa que no vemos a simple vista, pero que está ahí:


Uno de los ejemplos de este vídeo es el que voy a tomar para realizar la tarea, ya que es el que más me ha llamado la atención.





Los números de la sucesión de Fibonacci salen mucho en la naturaleza.
Por ejemplo, nosotros sabemos que las hojas se distribuyen en las plantas (árboles, herbáceas..) para conseguir mayor cantidad de energía luminosa, pero lo que no sabemos es que en muchas de estas ocasiones lo hacen siguiendo secuencias de estos números. La mayoría de las flores tienen 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 o 35 pétalos.

La cinta de Möbius

Cinta de Möbius

Las geometrías no euclidianas, que trabajan en campos más abstractos que la geometría convencional y sobre superficies y espacios matemáticos en ocasiones de más de tres dimensiones, nos plantean a menudo cuestiones sorprendentes que parecen escapar a toda lógica.

Un ejemplo de ello es la cinta de Möbius, introducida casi simultáneamente en 1858 por dos matemáticos alemanes, August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing, y que fue el primer ejemplo de variedad no orientable.

Para construir una cinta de Möbius como la de la imagen nada más sencillo que unir los extremos de una cinta, pero no formando un aro como sería lo más natural, sino efectuando una torsión, es decir, dotando a uno de los extremos de un giro de 180º de tal manera que pegamos el lado exterior de un extremo de la cinta sobre el lado exterior del otro extremo.

La cinta así obtenida presenta las siguientes particularidades:

  1. No tiene dos bordes, tan solo uno. Fácilmente verificable siguiendo el borde con el dedo.
  2. No tiene dos lados, solamente uno. Fácilmente verificable trazando una línea a bolígrafo siguiendo la única cara

Fibonacci y los girasoles





Se puede ver que estas espirales se forman desde el centro y van en sentido de las agujas del reloj (tenemos 21 espirales), y también van en sentido contrario a las agujas del reloj (tenemos 34 espirales). Ambos números son términos de la sucesión de Fibonacci

miércoles, 28 de septiembre de 2011

La geometria de las colmenas


Las colmenas estan construidas en forma de varias celdas hexagonales regulares unidas entre si. Esta regularidad que las caracteriza esta presente en la forma de las celdas y también en su tamaño, que suele ser de unos 5 mm.

"juego de los cuadritos"







"Este juego pertenece a las matematicas recreativas; y consiste en realizar cuadrados en una plataforma cuadratica, para formar los cuadrados empleamos lineas verticales y horizontales, las lineas diagonales no se contaran en la puntuacion.
El objetivo del juego consiste en realizar el mayor numero posible de cuadrados y se juega de forma alternada, entre varios jugadores pues asi se eleva la dificulta y la recreatividad"

se considera un juego secuencial.

La Botella de Klein


La botella de Klein no tiene un interior ni un exterior, ni es estrictamente una botella. No tiene bordes y es una superficie cerrada. Si se quiere hacer el modelo en el espacio tridimensional, tendrá que pasar a través de sí misma. Una botella de Klein es una superficie no orientable abierta.

La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático alemán Felix Klein. El nombre original del objeto no fue el de botella de Klein (en alemán Kleinsche Flasche), sino el de superficie de Klein (en alemán Kleinsche Fläche). El traductor de la primera referencia al objeto del alemán al inglés confundió las palabras. Como la apariencia de la representación tridimensional recuerda a una botella, casi nadie se dio cuenta del error.


Construccion:

Comenzamos con un cuadrado, y pegamos los bordes coloreados en el diagrama siguiente, de modo que las flechas coincidan. Más formalmente, la botella de Klein es el cociente del cuadrado [0,1] × [0,1] con sus bordes identificados por la relación (0, y) ~ (1, y) para 0 ≤ y ≤ 1, y (x, 0) ~ (1 − x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1:

Klein Bottle Folding 1.svg

Este cuadrado es el polígono fundamental de la botella de Klein.

Nótese que éste es un pegado "abstracto" en el sentido de que al tratar de hacerlo en tres dimensiones resulta una botella de Klein que se autointersecta. La botella de Klein, propiamente dicha, no tiene autointersecciones. No obstante, hay un modo de visualizar la botella de Klein como figura en cuatro dimensiones.

Para ello, pegamos las flechas rojas del cuadrado, (lados derecho e izquierdo) resultando un cilindro. Para pegar los extremos de manera que las flechas de los círculos coincidan, pasamos un extremo por el lado del cilindro. Nótese que esto crea una autointersección circular. Esta es un inmersión de la botella de Klein en tres dimensiones.

Añadiendo una cuarta dimensión al espacio tridimensional, conseguimos que la botella pase a través de sí misma sin necesidad de un agujero. Para ello empujamos suavemente un trozo de tubo que contenga la intersección fuera del espacio tridimensional original. Una analogía útil es considerar una curva que se autointerseca en el plano; las intersecciones se pueden eliminar levantando una línea fuera del mismo.

Esta inmersión es útil para visualizar muchas propiedades de la botella de Klein. Por ejemplo, no tiene borde (donde la superficie se detenga abruptamente), y no es orientable, al tener su inmersión una sola cara.

Efecto Doppler

La sirena de la ambulancia y el bicho en el estanque

Todos hemos notado que la altura (una de las características de un sonido) de la sirena de una ambulancia que se aproxima se reduce bruscamente cuando la ambulancia pasa al lado nuestro para alejarse. Esto es lo que se llama "Efecto Doppler".

El fenómeno fue descripto por primera vez por el matemático y físico austríaco Christian Doppler (1803-1853). El cambio de altura se llama en Física "desplazamiento de la frecuencia" de las ondas sonoras.

Cuando la ambulancia se acerca, las ondas provenientes de la sirena se comprimen, es decir, el tamaño de las ondas disminuye, lo cual se traduce en la percepción de una frecuencia o altura mayor.


Cuando la ambulancia se aleja, las ondas se separan en relación con el observador causando que la frecuencia observada sea menor que la de la fuente. Por el cambio en la altura de la sirena, se puede saber si la misma se está alejando o acercando. Si se pudiera medir la velocidad de cambio de la altura, se podría también estimar la velocidad de la ambulancia.


Una fuente emisora de ondas sonoras que se aproxima, se acerca al observador durante el período de la onda. Y, dado la longituda de la onda se acorta y la velocidad de propagación de la onda permanece sin cambios, el sonido se percibe más alto. Por esta misma razón, la altura de una fuente que se aleja, se reduce.


Fuente fija con respecto al observador:
la frecuencia de la fuente y la frecuencia
observada coinciden

Fuente en movimiento:
la frecuencia de la fuente es menor que
la observada por el observador del cual se aleja
y mayor que la observada por el observador al
cual se dirige. Esto es lo que se llama
desplazamiento hacia el rojo y hacia el azul
de la frecuencia de la fuente

El Hombre Vitruvio y el número aureo.






















Leonardo Da Vinci es muy conocido por su gran proyección del mundo de la ciencia en sus obras artísticas.
Por otro lado, como todos sabemos, desde la antigüedad los filósofos han intentado dar solución a los misterios de la vida, entre los cuales se encontraba la Belleza (típico ejemplo para explicar la teoría de las ideas en Platón). Así surguieron una serie de teorías para dar explicación a esta cuestión, como las pitagóricas, que relacionaban la belleza con la geometría. O como el caso que aquí nos atañe, Leonardo Da Vinci con su Hombre de Vitruvio, mapa matemático de la simetría y perfección del cuerpo humano.

¿Qué es la sección o relación aurea?
La siguiente explicación esclarece bastante bien el tema:

Un segmento AB se dice que está dividido por un punco C en razón áurea si

**

Si llamamos x a esta proporción, se tiene :
*
Esto es

Si llamamos

*


Esta relación se puede observar en el cuerpo humano en los siguientes casos:
- La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
- La relación entre la distancia del hombro alos dedos y la distancia del codo a los dedos.
- La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
- La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz.
- La relación entre el diámetro externo de los ojos y la linea inter-pupilar.
Y así una larga lista de segmentos en nuestro cuerpos que relacionandolos como se dice en la explicación de antes, nos dan en número aureo.